Formel för att beräkna studentens T-fördelning
Formeln för att beräkna T-fördelning (som också kallas studentens T-fördelning) visas som att subtrahera populationsmedelvärdet (medelvärdet av det andra provet) från provets medelvärde (medelvärdet av det första provet) som är [x-bar - μ] vilket divideras sedan med standardavvikelsen för medel som initialt divideras med kvadratroten av n som är antalet enheter i provet [s ÷ √ (n)].
T-fördelningen är en slags fördelning som ser ut som den normala fördelningskurvan eller klockkurvan men med lite fetare och kortare svans. När provstorleken är liten kommer denna fördelning att användas istället för normalfördelningen.
Var,
- x̄ är provmedlet
- μ är befolkningens medelvärde
- s är standardavvikelsen
- n är storleken på det givna provet
Beräkning av T-fördelning
Beräkningen av studentens t-fördelning är ganska enkel men ja, värdena krävs. Till exempel behöver man befolkningens medelvärde som är universum betyder vilket är inget annat än genomsnittet av befolkningen medan provmedelvärde krävs för att testa äktheten hos befolkningen betyder om det uttalande som påstås på grundval av befolkningen verkligen är sant och urval om något tagits kommer att representera samma uttalande. Så t-fördelningsformeln här subtraherar provmedlet från populationsmedlet och delar det sedan med standardavvikelse och multiplicerar med kvadratroten av provstorleken för att standardisera värdet.
Eftersom det inte finns något intervall för t-fördelningsberäkning kan värdet gå konstigt och vi kommer inte att kunna beräkna sannolikheten eftersom studentens t-fördelning har begränsningar för att nå ett värde och därför är det bara användbart för mindre urvalsstorlek. Också för att beräkna sannolikheten efter att ha nått poäng måste man hitta värdet av det från studentens t fördelningstabell.
Exempel
Du kan ladda ner denna Excel-mall för T-distribution här - Excel-mall för T-distributionExempel nr 1
Tänk på följande variabler som du får:
- Befolkningens medelvärde = 310
- Standardavvikelse = 50
- Provets storlek = 16
- Provmedelvärde = 290
Beräkna t-fördelningsvärdet.
Lösning:
Använd följande data för att beräkna T-fördelningen.
Så, beräkningen av T-fördelningen kan göras enligt följande -
Här ges alla värden, vi behöver bara införliva värdena.
Vi kan använda t-fördelningsformeln
Värde på t = (290 - 310) / (50 / √16)
T-värde = -1,60
Exempel 2
SRH-företaget hävdar att dess anställda på analytikernivå tjänar i genomsnitt 500 dollar per timme. Ett urval av 30 anställda på analytikernivå väljs och deras genomsnittliga inkomster per timme var $ 450 med en provavvikelse på $ 30 och förutsatt att deras anspråk är sant, beräkna t -fördelningsvärdet som ska användas för att hitta sannolikheten för t - distribution.
Lösning:
Använd följande data för att beräkna T-fördelningen.
Så, beräkningen av T-fördelningen kan göras enligt följande -
Här ges alla värden, vi behöver bara införliva värdena.
Vi kan använda t-fördelningsformeln
Värde på t = (450 - 500) / (30 / √30)
T-värde = -9,13
Därför är värdet för t-poäng -9,13
Exempel # 3
Universal college board hade administrerat ett IQ-nivå test till 50 slumpmässigt utvalda professorer. Och resultatet som de fann utifrån det var den genomsnittliga IQ-poängen var 120 med en varians på 121. Antag att t-poängen är 2.407. Vad är populationens medelvärde för detta test som skulle motivera t-poängvärdet som 2,407?
Lösning:
Använd följande data för att beräkna T-fördelningen.
Här ges alla värden tillsammans med t-värdet, vi måste beräkna populationsmedelvärdet istället för t-värdet den här gången.
Återigen skulle vi använda tillgängliga data och beräkna populationsmedlen genom att infoga värdena i formeln nedan.
Provets medelvärde är 120, populationsmedlet är okänt, standardavvikelsen kommer att vara kvadratroten av varians som skulle vara 11 och provets storlek är 50.
Så, beräkningen av populationsmedelvärde (μ) kan göras enligt följande -
Vi kan använda t-fördelningsformeln
Värde på t = (120 - μ) / (11 / √50)
2.407 = (120 - μ) / (11 / √50)
-μ = -2,407 * (11 / √50) -120
Befolkningens medelvärde (μ) blir -
μ = 116,26
Därför blir värdet för befolkningens medelvärde 116,26
Relevans och användning
T-fördelningen (och de associerade t-värdena) används vid hypotesprovning när man behöver ta reda på om man ska avvisa eller acceptera nollhypotesen.
I ovanstående diagram kommer den centrala regionen att vara acceptansområdet och svansregionen kommer att vara avvisningsregionen. I den här grafen, som är ett 2-tailed test, blir den blå skuggade avvisningsregionen. Området i svansregionen kan beskrivas antingen med t-poängen eller med z-poängen. Ta ett exempel, bilden till vänster visar ett område i svansarna på fem procent (vilket är 2,5% på båda sidorna). Z-poängen bör vara 1,96 (med värdet från z-tabellen), vilket motsvarar 1,96 standardavvikelser från genomsnittet eller medelvärdet. Nollhypotesen kan avvisas om värdet på z-poängen är mindre än värdet -1,96 eller värdet för z-poängen är större än 1,96.
I allmänhet ska denna fördelning användas som beskrivits tidigare när man har en mindre urvalsstorlek (mestadels under 30) eller om man inte vet vad populationsvariansen eller populationsstandardavvikelsen är. För praktiska ändamål (det vill säga i den verkliga världen) skulle detta alltid vara fallet. Om storleken på provet som tillhandahålls är tillräckligt stor, kommer de två fördelningarna att vara praktiskt taget lika.
