Z-poängformel

Formel för att beräkna Z-poäng

Z-poäng för rådata hänvisar till poängen som genereras genom att mäta hur många standardavvikelser som ligger över eller under populationsmedelvärdet är data, vilket hjälper till att testa hypotesen som övervägs. Med andra ord är det avståndet mellan en datapunkt och populationens medelvärde som uttrycks som en multipel av standardavvikelsen.

  • Z-poängen varierar i intervallet -3 gånger standardavvikelsen (längst till vänster om normalfördelningen) till +3 gånger standardavvikelsen (längst till höger om normalfördelningen).
  • Z-poängen har ett medelvärde på 0 och en standardavvikelse på 1.

Ekvationen för z-poäng för en datapunkt beräknas genom att subtrahera populationsmedelvärdet från datapunkten (kallad x ) och sedan divideras resultatet med populationsstandardavvikelsen. Matematiskt representeras det som,

Z-poäng = (x - μ) / ơ

var

  • x = Datapoint
  • μ = medelvärde
  • ơ = standardavvikelse

Beräkning av Z-poäng (steg för steg)

Ekvationen för z-poäng för en datapunkt kan härledas med följande steg:

  • Steg 1: För det första, fastställa medelvärdet av datamängden baserat på datapunkterna eller observationer som betecknas med x i , medan det totala antalet datapunkter i datauppsättningen betecknas med N.

  • Steg 2: Bestäm sedan standardavvikelsen för befolkningen på grundval av populationsmedlet μ, datapunkter x i och antalet datapunkter i populationen N.

  • Steg 3: Slutligen härleds z-poängen genom att subtrahera medelvärdet från datapunkten och sedan divideras resultatet med standardavvikelsen som visas nedan.

Exempel

Du kan ladda ner den här Z Score Formula Excel-mallen här - Z Score Formula Excel Template

Exempel nr 1

Låt oss ta exemplet med en klass på 50 studenter som har skrivit vetenskapstestet förra veckan. Idag är det resultatdagen och klassläraren berättade att John fick 93 i testet medan klassens genomsnittliga poäng var 68. Bestäm z-poängen för Johns testmärke om standardavvikelsen är 13.

Lösning:

Given,

  • Johns testpoäng, x = 93
  • Medelvärde, μ = 68
  • Standardavvikelse, ơ = 13

Därför kan z-poängen för Johns testpoäng beräknas med formeln ovan som,

Z = (93 - 68) / 13

Z-poäng blir -

Z-poäng = 1,92

Därför är Johns Ztest-poäng 1,92 standardavvikelse över klassens genomsnittliga poäng, vilket innebär att 97,26% av klassen (49 elever) gjorde mindre än John.

Exempel 2

Låt oss ta ett annat detaljerat exempel på 30 elever (eftersom z-test inte är lämpligt för mindre än 30 datapunkter) som deltog i ett klassprov. Bestäm z-testpoängen för den fjärde eleven av baserat på poängen som eleverna fått av 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66 , 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.

Lösning:

Given,

  • x = 65,
  • 4: e student gjorde = 65,
  • Antal datapunkter, N = 30.

Medelvärde = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30

Medel = 71,30

Nu kan standardavvikelsen beräknas med formeln som visas nedan,

ơ = 13,44

Därför kan Z-poäng för den fjärde eleven beräknas med formeln ovan som,

Z = (x - x) / s

  • Z = (65 –30) / 13.44
  • Z = -0,47

Därför är den fjärde studentens poäng 0,47 standardavvikelse under klassens genomsnittliga poäng, vilket innebär att 31,92% av klassen (10 elever) gjorde mindre än den fjärde eleven enligt z-poängtabellen.

Z-poäng i Excel (med Excel-mall)

Låt oss nu ta fallet som nämns i exempel 2 för att illustrera begreppet z-poäng i excelmallen nedan.

Nedan ges data för beräkning av Z-poäng

Du kan hänvisa till det angivna excelbladet nedan för en detaljerad beräkning av Z Score Formula Test Statistics.

Relevans och användningsområden

Ur hypotesprovningen är z-poäng ett mycket viktigt begrepp att förstå eftersom det används för att testa om en teststatistik faller inom det acceptabla värdet. Z-poängen används också för att standardisera data före analys, beräkna sannolikheten för en poäng eller jämförelse av två eller flera datapunkter som är från olika normala fördelningar. Det finns en mångsidig tillämpning av z-poäng över fält om de tillämpas korrekt.