Vad är exponentiell distribution?
Den exponentiella fördelningen hänvisar till den kontinuerliga och konstanta sannolikhetsfördelningen som faktiskt används för att modellera den tidsperiod som en person behöver vänta innan den givna händelsen inträffar och denna fördelning är en kontinuerlig motsvarighet till en geometrisk fördelning som istället är distinkt.
Exponential Distribution Formula
En kontinuerlig slumpmässig variabel x (med skalparameter λ> 0) sägs ha en exponentiell fördelning endast om dess sannolikhetsdensitetsfunktion kan uttryckas genom att multiplicera skalningsparametern till den exponentiella funktionen av minus skalparameter och x för alla x större än eller lika med noll, annars är sannolikhetsdensitetsfunktionen lika med noll.
Matematiskt representeras sannolikhetsdensitetsfunktionen som,
så att medelvärdet är lika med 1 / λ och variansen är lika med 1 / λ2.
Beräkning av den exponentiella fördelningen (steg för steg)
- Steg 1: Först och främst, försök att räkna ut om händelsen i fråga är kontinuerlig och oberoende och inträffar i ungefär konstant takt. Varje praktisk händelse säkerställer att variabeln är större än eller lika med noll.
- Steg 2: Bestäm sedan värdet på skalningsparametern, som alltid är det ömsesidiga av medelvärdet.
- λ = 1 / medelvärde
- Steg 3: Multiplicera därefter skalningsparametern λ och variabeln x och beräkna sedan produktens exponentiella funktion multiplicerad med minus en dvs. e– λ * x.
- Steg 4: Slutligen beräknas sannolikhetsdensitetsfunktionen genom att multiplicera den exponentiella funktionen och skalparametern.
Om ovanstående formel gäller för alla x större än eller lika med noll, är x en exponentiell fördelning.
Exempel
Du kan ladda ner den här exponentiella Excel-mallen här - Exponential Distribution Excel-mall
Låt oss ta exemplet, x som är den tid det tar (i minuter) av en kontors peon att leverera från chefens skrivbord till kontoristens skrivbord. Tidsfunktionens funktion antas ha en exponentiell fördelning med den genomsnittliga tiden som är lika med fem minuter.
Med tanke på att x är en kontinuerlig slumpmässig variabel eftersom tiden mäts.
Genomsnitt, μ = 5 minuter
Därför skalar parameter, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20
Därför kan den exponentiella fördelningssannolikhetsfunktionen härledas som,
f (x) = 0,20 e– 0,20 * x
Beräkna nu sannolikhetsfunktionen vid olika värden på x för att härleda fördelningskurvan.
För x = 0
exponential distribution sannolikhetsfunktion för x = 0 kommer att vara,
Beräkna på samma sätt exponentiell fördelningssannolikhetsfunktion för x = 1 till x = 30
- För x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
- För x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
- För x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
- För x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
- För x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
- För x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
- För x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
- För x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
- För x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
- För x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
- För x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
- För x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
- För x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
- För x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
- För x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
- För x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
- För x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
- För x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
- För x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
- För x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
- För x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
- För x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
- För x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
- För x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
- För x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
- För x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
- För x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
- För x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
- För x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
- För x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
- För x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000
Vi har härledt fördelningskurvan enligt följande,
Relevans och användning
Även om antagandet om en konstant hastighet mycket sällan uppfylls i de verkliga världsscenarierna, men om tidsintervallet väljs på ett sådant sätt att hastigheten är ungefär konstant, kan den exponentiella fördelningen användas som en bra ungefärlig modell. Det har många andra tillämpningar inom fysik, hydrologi etc.
I statistik och sannolikhetsteori hänvisar uttrycket för exponentiell fördelning till den sannolikhetsfördelning som används för att definiera tiden mellan två på varandra följande händelser som sker oberoende och kontinuerligt med en konstant genomsnittlig hastighet. Det är en av de i stor utsträckning använda kontinuerliga distributionerna och det är strikt relaterat till Poisson-fördelningen i Excel.
